参考资料《空间解析几何与线性代数》 ISBN 7-11-14572-0，机械工业出版社。

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丛书清单：

高等工科数学系列课程教材
工科数学分析教程
空间解析几何与线性代数
概率论与数理统计
复变函数论与运算微积分
计算技术与程序设计
最优化方法
数学物理方程

线性方程组是线性代数的基础。

搞清楚三个概念

行列式概念的形成
行列式的基本性质及计算方法
利用行列式求解线性方程组

1. 行列式

二阶、三阶行列式

先来解含两个未知量$x_{1},x_{2}$的线性方程组

$$\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}
\end{cases} \tag{1.1.1}$$

如果想消元$x_{1}$得到$x_{2}$，就将第一行都乘以$a_{21}$，第二行乘以$a_{11}$

$$\begin{cases}
a_{11}a_{21}x_{1}+a_{12}a_{21}x_{2}=a_{21}b_{1}\
a_{11}a_{21}x_{1}+a_{11}a_{22}x_{2}=a_{11}b_{2}
\end{cases} \tag{1.1.2}$$

两个式子相减就能得出只有$x_{2}$的一个式子

$$
(a_{12}a_{21}-a_{11}a_{22})x_{2} = a_{21}b_{1}-a_{11}b_{2}\
x_{2} = \frac{a_{21}b_{1}-a_{11}b_{2}}
{a_{12}a_{21}-a_{11}a_{22}}
$$

求$x_{1}$也一样

$$\begin{cases}
a_{22}a_{11}x_{1}+a_{22}a_{12}x_{2}=a_{22}b_{1}\
a_{12}a_{21}x_{1}+a_{22}a_{12}x_{2}=a_{12}b_{2}
\end{cases} \
x_{1}=\frac{a_{22}b_{1}-a_{12}b_{2}}{a_{22}a_{11}-a_{12}a_{21}}
\tag{1.1.3}$$

现在开始定义一个新的运算式子

$$
x_{1}=\frac{b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}}
{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}=
\frac{
\left|\begin{matrix}
a_{11}&b_{1}\
a_{21}&b_{2}
\end{matrix}\right|
}{
\left|\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}\
a_{21}&a_{22}
\end{matrix}\right|}
$$

$$
x_{2}=\frac{a_{21}b_{1}-a_{11}b_{2}}{a_{12}a_{21}-a_{11}a_{22}}
$$

定义运算，二阶行列式的定义

$$
\left|\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}\
a_{21}&a_{22}
\end{matrix}\right|=a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}
$$

主对角线\

次对角线/

三阶行列式展开。三个正向，三个负向，六个项目。

$$
\left|\begin{matrix}
1&2&3\
4&5&6\
7&8&9
\end{matrix}\right|=159 + 267 + 483 - 357 - 429 - 681
$$

这个画出来就是个环绕的方式。

排列

由1,2,…,n组成的一个有序数组，叫做n级排列。

n级排列 = n(n-1) … 321 = n!

逆序：大数排在小数前面。符号计为N

逆序数：从第一个开始数逆序总数

$$N(4213)=3+1=4$$

4后面有3个比它小的数，2后面只有1个比它小的数，1后面没有比它小的数，3后面也没有比它小的数。所以逆序数为4。

逆序数数字为奇数，就是奇排列，反之就是偶排列。

标准排列（自然排列）

$$N(123…N)=0$$

$$N(n(n-1)…321)=n-1+n-2…+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$$

差数求和公式。

对换

概念：交换两个数。

N(5 4 2 1 3)

将1，3对换，就变成了

N(5 4 2 1 3)

一个逆序数做一次对换，奇偶性质会变换一次。交换奇数次，奇偶性改变；交换偶数次奇偶性不变。

定理：n级排列中，奇排列、偶排列各占$\frac{n!}{2}$

n阶行列式的定义

如果划线，4阶行列式=24根线。

先引入三阶行列式：

$$
\left|\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{matrix}\right|= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}+a_{32}
-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}
$$

行标=标准排列 1 2 3

列表=其实就是取了排列的所有可能。从不同行，不同列取出3个元素相乘。将排列的偶排列数-奇排列的数字。

123  0
231  2    偶排列+
312  2
--------
321  3
213  1    奇排列-
132  1

所以n阶行列式展开，就能通过按行展开定义。

$$
\left|\begin{matrix}
a_{11}&a{12}&…&a_{1n}\
a_{11}&a{12}&…&a_{1n}\
…&…&…&\
a_{n1}&a{n2}&…&a_{nn}
\end{matrix}\right|=\sum_J^I a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} … a_{nj_{n}}\
J=j_{1},j_{2}…j_{n}\
I=N(i_{1},i_{2}…i_{n})\
D=|a_{ij}|
$$

当行列式大量都是为0的情况下计算展开，能直接计算出来它的值。

其他23个行列式由于都会算到和0相乘，所以都会变成零，可以不去管它们。最终只有这个式子。只需要对2341做奇偶性排列的判断，之后就能确定最终数值。

$$
\left|\begin{matrix}
0 &2&0&0\
0&0&3&0\
0&0&0&4\
1&0&0&0
\end{matrix}\right|= (-1)^{N(2341)}2341=-124
$$

下三角行列式 主对角线元素相乘。就是主对角线相乘

上三行列式 次对角线元素相乘。

行列式性质

行列式的转置就是行转成列，列传成行。转两次之后就等于自身。转置值不变。

$$D^T=D$$

性质1：行列式转置之后，对于行成立的性质，对转置之后的列也成立。

性质2：一个行列式的两个行做交换之后得到的行列式，符号相反。
推论：行列式如果有两行（列）完全相同，行列式是为0

证明：原理就是列不变，行标变了一次，和上一章节里面的逆数中的定理，排列里面数字交换一次，奇偶性取反。行列式展开的每一项都会是如此，所以符号会取反。

性质4：某行有公因子，可以提出去到行列式外面。
变成了标量乘法。

性质5：两列行列式对应程比例，D=0
基于4，先将倍率提取到外面，这样就有两行相同的。

性质6：是和的那一行分开，其他行保持不变，拆开之后相加。

这个很容易弄错。

性质7：行列式某行乘以一个数，加到另一行上去，行列式的值不变。
其实就是先使用性质6，分离出两个行列式；用提取倍率出去，而且里面两行相同行列式就为0了。

性质7非常非常重要，出错的人特别多。

例题推算

一般纯数字的行列式都是被转换成一个上三角行列式。

消除掉行列式的值，其实就是将行上的值乘上数字，加到对应行上去，这样消掉对应那个位置的数字。行列式性质53”59’

做题，先将有数字1的行要交换上去。先按照规范（用一列消第二列，然后用第二列消第三列，一次来类推，在处理第三行的时候，第二行不再参与运算—原因来自于这样解题会无法结束。其实这个解体类似于解开魔方）来解体，这样反而简单。

第七条定理用得非常频繁，也非常容易让人用的时候糊涂。最好看一下原视频的论述，非常精彩。

行列式按行展开

行列式按行展开
异乘变零定理
行列式相乘定理

余子式

找到行列式中的某个数字，将它所在的行、列都删除剩下的元素组成的行列式。余子式一般都使用 $M_{12}$ 来表示。

代数余子式

在n阶行列式中，把元素aₒₑ所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aₒₑi的余子式，记作Mₒₑ，将余子式Mₒₑ再乘以-1的o+e次幂记为Aₒₑ，Aₒₑ叫做元素aₒₑ的代数余子式。代数余子式的符号是 $A_{12}$。

按行展开

行列式按（列）展开：行列式的值=某个元素值乘以的自己的代数余子式。

好处可以降低阶数。

选择0比较多的行或列展开。

异乘变零：某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和=0

拉普拉斯定理

k阶子式。

举例子二阶子式

取两行，两列两行两列相交的数字取出来，就是二阶子式。

去掉所选取的行列的数字，组成的行列式就是二阶余子式。

代数余子式，就是余子式前面加上一个符号，符号决定于，所取行列来决定余子式。

取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与余子式乘积之和=D。

当有成片的0出现的时候，使用这个展开式，将会很快能计算出结果。

$$
\left|
\begin{matrix}
1&2&0&0&0\
3&4&0&0&0\
1&2&3&4&5\
1&1&1&1&1\
8&8&8&3&1
\end{matrix}
\right|=
\left|
\begin{matrix}
1&2\
3&4
\end{matrix}
\right|
(-1)^{1+2+1+2}
\left|
\begin{matrix}
3&4&5\
1&1&1\
8&3&1
\end{matrix}
\right|
$$

行列式相乘

只有同阶行列式才能相乘，如果非同阶的行列式，可以将他们的值算出来，直接相乘。如果是为了计算行列式的最终值，其实用的不算太多。

$$
\left|
\begin{matrix}
1&1&1\
2&0&0\
0&0&3
\end{matrix}
\right|
\times
\left|
\begin{matrix}
1&2&3\
1&3&2\
3&2&1
\end{matrix}
\right|=
\left|
\begin{matrix}
5&7&6\
2&4&6\
9&6&3
\end{matrix}
\right|
$$

前面式子的行$\times$后面式子的列相乘累加。

行列式的计算（一）

考试的时候，基本上都是在考计算行列式的结果，需要利用之前学习的行列式性质，定理来展开。

如果是纯数字的行列式，先老老实实的化成上三角行列式。

$$
\left|\begin{matrix}
2&1&7&-1\
-1&2&4&3\
2&1&0&-1\
3&2&2&1
\end{matrix}
\right|=\left|\begin{matrix}
2&1&7&-1\
0&2&4&3\
0&0&…&…\
0&0&0&…
\end{matrix}
\right|
$$

消元套路是使用行列式性质里面第7号特性。先将$a_{21}$位置消元。如同瀑布一样，使用第二行开始将第三行的第二个元素消元。

如果$a_{11}$就是0，就是将某一行加上第一行，放入第一行。

要想办法将第一行的消元的数字变小，避免分数来当作消元元素来计算，造成自己出现很多失误。

对行列式，求某一行的余子式的相加

余子式累加实例24”51’讲解

这个解题一共3步骤推导：

1.余子式变成代数余子式，如果需要保持值不变，需要给式子配上符号；
2.将代数余子式提取出来，余子式和代数余子式符号不相同但是值相同；
3.将其他行都拿过来，将刚刚推出来的余子式的符号写入新的行列式；（还需要再看一次）
4.计算行列式的时候，选择行列式中0多的，然后计算。

思路是构造成新的一个行列式，然后算出最终值。原因是直接计算余子式，展开的项目太多了。

未知数提取

$$
\left|
\begin{matrix}
x&a&…&a\

\end{matrix}
\right|
$$

行列式的计算（二）

之前的解题思路总结：

将行列式转换成上三角；
将某行或列尽可能化成0，然后按行展开；

其实这个就是高斯消元法 Gaussian Elimination。

例6：加边法解方程

$$
\left|
\begin{matrix}
1+a_{1}&1&1&…&1\
1&1+a_{2}&1&…&1\
…&…&…&…&…\
1&1&1&…&1+a_{n}
\end{matrix}
\right|
$$

步骤：

1.加行加列

又叫做加边法

准则：加边之后不能改变原行列式的值。

增加一行全部都写1，最前面增加一列，全部都写0。

实际做题很少使用的。

三叉戟行列式都是对角线上的数字，将首列的数字消元。

有字母，放到分母，一定要注意字母需要对非零的约束。

书签1(15’22”)

$$
\left|
\begin{matrix}
1&1&1&1&…&1\
0&1+a_{1}&1&1&…&1\
0&1&1+a_{2}&1&…&1\
…&…&…&…&…&…\
0&1&1&1&…&1+a_{n}
\end{matrix}
\right|
$$

这里不变值原因来自于余子式相等。

2.将第一行$\times$-1加到剩余行

消元之后获得一个三叉戟行列式

$$
\left|
\begin{matrix}
1&1&1&1&…&1\
-1&a_{1}&&&&\
-1&&1+a_{2}&&&\
…&…&…&…&…&…\
-1&&&&…&a_{n}
\end{matrix}
\right|
$$

例7：范德蒙德行列式

$$
\left|
\begin{matrix}
1&1&1&1&…&1\
x_1&x_2&1x_3&x_4&…&x_n\
…&…&…&…&…&…\
x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&x_4^{n-2}& …&x_n^{n-2}\
x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&x_4^{n-1}& …&x_n^{n-1}
\end{matrix}
\right| =
\prod_{ 1 \leq j < i \leq n }(x_i-x_j)
$$

其实第一行是0次幂运算。

$\prod$ 符号其实是连乘符号，和 $\sum$ 连加符号类似的模式，只是符号不相同。

公式里面两处很容易错：

j < i，其他的值域限定都是 $\leq$，其实也好理解 i = j的时候，会直接造成相减为0，这样行列式的值就直接=0。

相减的时候是 $x_i-x_j$ ，这一点宋老师在课堂里面都写错过一次。

如果n=5的情况，写出结果来。

固定 j = 1

$(x_2-x1)(x_3-x_1)(x_4-x_1)*(x_5-x_1)$

固定 j = 2

$(x_3-x_2)(x_4-x_2)(x_5-x_2)$

…

书签2(25’27”)

证明过程需要使用到的技巧：

某一行乘上一个数，加到某一行去；定理7，这种是经常使用的；
数学归纳法—先证明2阶的，然后推算n阶和n-1阶，就能全部证明；
当某一列都乘以了某个数字，就可以将数字提取到行列式外；
使用减边法将行列式维度降低；

在出题的时候，不会直白的给你说是范德蒙德行列式，通过两步隐藏起来。

将指数运算藏起来；
将行列式转置；

例8：反对称行列式、对称行列式

定义：

反对称行列式：

奇数阶的行列式的值是为0的。

$$
\left|
\begin{matrix}
0&1&2&3\
-1&0&-5&6\
-2&5&0&-8\
-3&-6&8&0
\end{matrix}
\right|
$$

主对角线全为零；
对称位置符号相反；$a_{ij}=-a_{ji}$

奇数阶的行列式的值是为0的。

证明过程：

先使用3阶的行列式；
将全部行列都提取一个-1；
将会发现行列式变成了转置行列式；
而且转置行列式的值和原始值保持不变$D^t=D$，所以能推算出0；

对称行列式：

$$
\left|
\begin{matrix}
1&1&-1\
1&2&0\
-1&0&3
\end{matrix}
\right|
$$

主对角线任意数值；
对称位置完全相同；$a_{ij}=a_{ji}$

书签3(44’19”)

后续的对称矩阵、反对称矩阵和行列式的定义是一样的。

克莱姆法则 Cramer’s rule

用来解方程组的。

$$
\begin{cases}
x_1+x_2+x_3=1\
x_1-x_2+5x_3=6\
-x_1+x_2+6x_3=9
\end{cases}$$

3个方程，3个未知数。

应用条件：

n方程式个数和n未知数相同。
系数行列式，其实就是提取了系数形成的行列式；行列式的值不能为0。$D\neq0$。看到后面才会知道，D将会作为除数，一旦=0，就完蛋了。

定义4个行列式的值：

D为原始的，$D_{1}$是将第一列全部数字都替换成方程组的值这一列，以此类推。

$$
D=\left|
\begin{matrix}
1&1&1\
1&-1&5\
-1&1&6
\end{matrix}\right|
D_{1}=\left|
\begin{matrix}
(1)&1&1\
(6)&-1&5\
(9)&1&6
\end{matrix}\right|
D_{2}=\left|
\begin{matrix}
1&(1)&1\
1&(6)&5\
-1&(9)&6
\end{matrix}\right|
D_{3}=\left|
\begin{matrix}
1&1&(1)\
1&-1&(6)\
-1&1&(9)
\end{matrix}\right|$$

最终公式为：

$$ x_{1}=\frac{D_1}{D},x_{2}=\frac{D_2}{D},x_{3}=\frac{D_3}{D} $$

克莱姆法则其实不适合人类计算，但是非常适合计算机来运算解题。

注：齐次方程组：当方程组的常数项都为0的情况，就是齐次方程组。（课堂里第一次提到这个概念）

定理：

齐次方程组：

有非零解的充要条件是$D=0$

$D\neq0$，只有零解

2. 矩阵 Matrix

矩阵概念

有了行列式，为什么要出一个矩阵的概念。

$行 \times 列$ 矩阵，是数表。

$A_{2 \times 3}$。

矩阵和行列式的区别：

	行列式	矩阵
本质	一个数字	数表
符号	\|	(（注{大括号在行列式里面不会使用。）
形状	行数=列数	行数可以不等于列数
提公因子	一行提一次	全部的元素的公因子提一次

矩阵里面有实数矩阵、复数矩阵。

零矩阵

元素都为0的矩阵。

负矩阵

A -A

矩阵行列相等就是方阵

$A_{n \times n} = A_{n}$

单位矩阵

符号用E,I，一定是方阵。

$$
E,I=\left(
\begin{matrix}
1&&&\
&1&&\
&&1&\
&&&1
\end{matrix}
\right)$$

除了主对角线都为1，其他都为0。

矩阵相等前提是同形矩阵。

零矩阵可能不相等，因为可能不同形状。

方阵才有主对角线，此对角线。

矩阵运算（一）

线性代数有176个知识点。老师打印了一张A4纸，两面写满。

加法

同形矩阵才能加，对应元素能加减。

减法

同形矩阵才能减，对应元素能加减。

运算交换律，结合律都满足。

数乘

其实就是将一个标量与矩阵相乘。

提公因子

矩阵的所有元素均有公因子，才能对外提一次公因子。

行列式提公因子是一行提一次。

乘法的结合律和交换律是合适用的。

矩阵的乘法（非常重要）

看起来很容易，其实做题很多坑。

书签4-14’19”

矩阵乘法速记

$$\left(
\begin{matrix}
2&1&0\
1&0&1
\end{matrix}
\right)\left(
\begin{matrix}
1&0&1\
0&1&1\
0&1&1
\end{matrix}
\right)=\left(
\begin{matrix}
2&1&3\
1&1&2
\end{matrix}
\right)
$$

$$A_{2\times 3} \times B_{2} $$

矩阵相乘前提条件：

第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数。

相乘结果：

行数第一个矩阵相等。

列数和第二个矩阵相等。

宋老师七字口诀：

$$A_{3 \times 4} B_{4 \times 5} $$

中间相等，取两头。

其实就是罗列矩阵的下标数字：

3,4,4,5

中间数字： 4,4相等，就能乘；

取两头： 3,5 这就是结果的矩阵的形状。

$$
\left(
\begin{matrix}
-1&1&5\
4&3&-2
\end{matrix}
\right) \left(
\begin{matrix}
1&-1\
0&2\
-3&6
\end{matrix}
\right)=?
$$

得出公式：

$$A_{2 \times 3} B_{3 \times 2} = C_{2 \times 2}$$

乘法不满足的三规律

乘法是不满足交换律

$$AB \neq BA$$

AB能相乘的情况下，BA都可能不能乘。

但是也有可能存在AB可交换。

AB读的时候：

A左乘B

B右乘A

由AB=0,无法推理出A=0或者B=0。
推理相等

$$AB=AC, A \neq 0 $$

无法推理出

$$B=C$$

与零矩阵相乘

都是相乘之后就等0。

与E（单位矩阵）相乘

AE=A EB=B

结合律分配律

在结合分配率使用的时候，位置一定不变。

结合律：(AB)C=A(BC)
分配律：(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB
数乘：k(AB)=(kA)B=A(kB)

例6：可交换

其实按矩阵乘法展开；
列出方程式；
最后获得答案；

其实有规律，两个矩阵是同阶的方阵，才能做这个计算。

例7：

从方程组转换成为矩阵。

使用矩阵相乘获取最终的答案。

$$
\begin{cases}
x_1=y_1-y_2\
x_2=y_1+y2
\end{cases}
\begin{cases}
y_1=z_1+z_2+z_3\
y2=z_1+2z_2+z3
\end{cases}
\begin{cases}
z_1=u_1+u_2\
z_2=u_1+0u_2\
z_2=-u_1+u_2
\end{cases}
$$

如何将

$$
\left(
\begin{matrix}
x_1\
x_2
\end{matrix}
\right)
$$

数值计算出来？

矩阵运算（二）

矩阵幂运算

$A^k = \underbrace{AA…A}_{k个}$

定义：

$A^0=E$

性质1：

$A^{K_1}A^{K_2}=A^(k_1+k2)$

性质2：

$(A^{k_1})^{k_2}=A^{k_1k_2}$

性质3：

一般来说：

$(AB)^k \neq A^k B^k$

$(A+B)^2 \neq A^2 + 2AB+B^2$

还是来自于AB和BA不相等造成的。

$(A-B)^2 \neq A^2-2AB+B^2$

如果B=E单位向量，那就是成立的。

例八：

思维锻炼方法，告辞米的时候，需要跳出来做。

去将一个中间的数字计算出一个常数，然后提取出来。

转置

$A^T$

和行列式的转置是完全一样的。

$A_{m \times n}^T=A_{n \times m}$

性质：

$(A^T)^T=A$

$(A+B)^T=A^T+B^T$

$(kA)^T=kA^T$

$(AB)^T=B^T A^T$

特殊矩阵

数量矩阵

只有主对角线有值，且相等。

对角形矩阵

只有主对角线有值，且有一串数字。

数学符号：

$\diagdown$

$diag(a_1,a_2,…,a_n)$

对角形矩阵左乘与右乘相同的方阵，刚好是转置的。

三角形矩阵

主对角线上部非零，下部都是0，就是上三角矩阵。

主对角线下部非零，下部都是0，就是下三角矩阵。

对称矩阵

对称矩阵有个性质

$a_{ij}=a_{ji}$

本质上是：

$A^T=A$

定理1：

$A,B对称 \rightleftarrows AB可交换$

例2

反对称矩阵

$a_{ij}=-a_{ji}，a_{ii}=0$

$A^T=-A$

逆矩阵（一）

逆矩阵就是将两个逆矩阵相乘之后能得到单位向量。

一定不要把矩阵放到分母的位置上。

方阵的行列式。

矩阵式有很多属性，但是行列式是一个数字。

$$
矩阵\begin{cases}
特值\
特量\
行列式\
…
\end{cases}
$$

获取矩阵的行列式，其实就是将它的属性提取出来。

方阵的行列式

性质1：

$$
\left|
A^T
\right|=\left|
A\right|$$

原理就是行列式转置，值不变。

性质2：

$$\left|
kA
\right|=k^n\left|
A\right|$$

行列式和矩阵提取的方式不一样造成。

性质3：

伴随矩阵 $A^*$

只有方阵才有伴随矩阵。

求出全部元素的代数余子式；
按照行求的代数余子式，按照列放，构成一个矩阵就是伴随矩阵；

数学符号：

$$A^*$$

口诀：

按行求，按列放

定理1：

对于任意的一个方阵都成立。

$AA^*=A^*A=\left|A\right|E$

证明过程：

代数余子式乘以自己本身就是行列式的值，否则就是0；定理就是异乘变零定理，章节1.3里面写过；

推论2.4.1

前提条件:

$\left|A\right| \neq 0$

$\left|A^*\right|=\left|A\right|^{n-1}$

后续再证明当不等0的情况也合适。

逆矩阵（二）

伴随矩阵法

逆矩阵定义： A是n阶方阵，存在n阶方阵B，

$AB=BA=E$

$A^-1=B$

但是方阵一定不要放到分母中！

未必所有方阵都可逆；
若可逆，逆矩阵唯一；

证明是通过结合律。

？如何判断是否可逆；

？如何求出逆矩阵；

书签-12’10”

定义：如果：$\left|A\right| \neq 0$ 就说明：非奇异/非退化/满秩，说明可逆。否则相反。

定理： A矩阵可逆的充要条件是 $\left|A\right| \neq 0$，且 $A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}A^{*}$

证明过程：

充分性

$\left|A\right| \neq 0$

（后面需要使用这个来做分母。）

只要A矩阵是一个方阵就有这个式子的成立（永远成立）：

$$
AA^*=A^*A=\left|A\right|E
$$

（这个概念在上一节说伴随矩阵的定义的时候说的。）

将式子全部除以 $\frac{1}{\left|A\right|}$
从逆矩阵的定义出发

$AB=BA=E$

B就是A的逆矩阵。

最终推理出这个式子。

推论： An方 Bn方 AB=E 演算一次就好了，而BA的可逆，是一定可以的。（常用）

前提：

$AB=E$

所以

$\left|A\right|\left|B\right|=1$

两数相乘不等于0，说明两个数字都不为零。

不为零的方正一定可逆。

总结：

这种求矩阵的方法为伴随矩阵法。按照计算量来说，估计又是给计算机来用的。

初等变换法（考试的时候常用法）

矩阵方程：

$AX=A+2X$

$$A=\left(\begin{matrix}
4&2&3\
1&1&0\
-1&2&3
\end{matrix}
\right)
$$

常见错误集合：

矩阵相乘需要检查矩阵是否同形；
矩阵永远不要放到分母上；
矩阵的乘法不满足交换律，所以自己想，或者和人沟通的时候，一定要定义为左乘，或者右乘；
矩阵不是一定可逆的，所以在做转换的时候不能直接就这样认为；想要用这个，就需要先证明；
注意提数出去的时候，方向问题，这一点和左乘，右乘类似；

书签-46’40”

这些东西都容易糊涂的。

待定法（假借法）。这种基本上太耗费时间，人在考试的时候，基本上解不完这个题目。

考试的时候一定是使用初等变换法来解题。

性质6： A可逆，$A^{-1}$可逆，$(A^{-1})^{-1}=A$

$(A^{-1})^{-1}A (A^T)^T=A$

推论： AB=E,$A^{-1}=B$

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

性质：

A可逆，$A^T$可逆 $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

下面这个式子，证明的时候，需要使用逆矩阵去括号之后交换。

$A^T(A^{-1})^{T}=(A^{-1}A)^T=E^T=E$

逆矩阵朝外提的时候，是需要放到分母上。具体证明，还是需要带入定义公式。

$k\neq0 (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$

性质7： A可逆 $\left|A^{-1}\right|=\left|A\right|^{-1}$

再次强调，非零的行列式能作为分母，任何矩阵都不能作为分母。

性质8： A可逆，$A^$也可逆， $(A^)^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}A$

证明过程：

伴随矩阵的恒等式

$AA^*=\left|A\right|E$ 两边都除以 $\left|A\right|$，再根据逆矩阵相乘等于单位阵，可以推论出来式子。

伴随矩阵总结 $A^*$

按行求，按列放
$AA^*=\left|A\right|E$
$\left|A^*\right|=\left|A\right|^{n-1}$
$\left|A^{-1}\right|=\left|A\right|^{-1} A^*=\left|A^{-1}\right|A^{-1}$

思考题：

$$
(A^)^=\left|A^\right|(A^)^{-1}=\left|A\right|^{n-1}\frac{1}{\left|A\right|}A=\left|A\right|^{n-2}A
$$

前面部分都是需要使用公式的带入，最后一步，

$$
((A^)^)^*=\left|A\right|^{n^2-3n+3}A^{-1}
$$

分块矩阵

$$\left(\begin{matrix}
1&1&3&4&0\
2&0&1&1&0\
1&1&1&1&3\
4&1&1&1&0
\end{matrix}
\right)$$

标准形，从左上角开始的一串1（不断）。标准形不一定是方的。

全部都是0的矩阵，也是标准形。

分块矩阵做加法

加法的时候，必须形状一样的。对应位置的数字相加。

数乘

直接将标量数字乘上全部元素。

乘法

类似矩阵相乘。

有前提条件，矩阵中间相同。

分块矩阵的转置：

先将子块当成普通元素先转置；
再将每个子块做转置；

例6 分块矩阵求逆的过程记录一下。

初等变换（一）

初等变换，行、列变换

行变换：

交换两行

用k$k\neq0$乘以某一行

某一行乘$ell$倍加到另一行上去。注意$ell$可以为零

列变换，其实和行变换相似。

符号是使用箭头链接，不要用等号。

本质：对矩阵的变化。

这些对应行列式里面也有类似的定义，但是行列式和矩阵不一样。注意矩阵和行列式的交换没有任何关系。

初等变换矩阵不要求式方阵。

只有在方阵的时候，才有可能二者有联系。

定理1：任意给一个矩阵，都可以通过初等变换化为标准形。（行、列变换都可以）

考点：给定一个矩阵，化为标准形。标准形，在上节课讲过。

1. 行列式

二阶、三阶行列式

排列

对换

n阶行列式的定义

行列式性质

行列式按行展开

按行展开

拉普拉斯定理

行列式相乘

行列式的计算（一）

行列式的计算（二）

例6：加边法解方程

例7：范德蒙德行列式

例8：反对称行列式、对称行列式

克莱姆法则 Cramer’s rule

2. 矩阵 Matrix

矩阵概念

零矩阵

负矩阵

单位矩阵

矩阵运算（一）

加法

减法

数乘

提公因子

矩阵的乘法（非常重要）

矩阵乘法速记

乘法不满足的三规律

与零矩阵相乘

与E（单位矩阵）相乘

结合律分配律

例6：可交换

例7：

矩阵运算（二）

矩阵幂运算

转置

特殊矩阵

数量矩阵

对角形矩阵

三角形矩阵

对称矩阵

逆矩阵（一）

方阵的行列式

伴随矩阵 $A^*$

逆矩阵（二）

伴随矩阵法

初等变换法（考试的时候常用法）

分块矩阵

初等变换（一）

初等变换（二）

初等变换（三）

矩阵的秩（一）

矩阵的秩（二）

参考