高等数学

概述

阅读一下高等数学书。

第一章 函数与极限

第一节 映射与函数

一 映射

• 映射：每个x都有唯一确定的y对应
• 满射：全部y都有x对应
• 单射：任意不相等的x对应的y都不相等
• 双射：满足单射、满射

D(f)：定义域

R(f)：值域

f：法则

映射就是算子。

逆映射与复合映射

只有x到y的映射是单射，才存在逆映射。

有两个映射，g: x->y1, f: y2->z。如果y1⊂y2将会可以让g,f两个函数符合起来。

二 函数

函数和映射类似，也是定义域，值域，法则。存在映射里面的满射、单射和双射的概念。

函数的定义域分为两种：

1. 根据实际情况自己下定义；
2. 自然定义域，写出公式后，让函数不有意义的值域；

函数表示法

1. 表格法；
2. 图形法；
3. 解析法（公式法）；

函数性质

1. 有界性

有无界限、上界、下界

1. 单调性

x1>x2 => f(x1)>f(x2) 单调增加，反之递减。

1. 奇偶性

奇函数：-f(x1)=f(-x1)符号影响最终的y值的符号

偶函数：f(x1)=f(-x1)符号不影响最终的y值的符号

1. 周期性

x+l之后值会相等。

f(x+l)=f(x)

反函数与复合函数

这个概念和映射类似。

函数的运算

函数存在和差计算，积计算，商计算。

初等函数

幂、指数、对数、三角函数、反三角函数、四则运算。使用这些运算有限次数组合出来的函数符合式子为初等函数。

双曲函数

反双曲函数：

第二节 数列的极限

一 数列极限的定义

三世纪刘徽用多边形推算圆面积—-割圆法。随着三角形越多，面积计算将会越精确。

三角形的面积列成。

数列：就是序列，n趋于无穷大；

项：每个再数列里面的数字；

An：一般项，通项；

讨论一个问题：当n趋近无穷大时，An的值是否趋近一个固定值。

收敛：给定正数ℇ（是个无限接近0的正数），设|An-a| < ℇ，这就说明An数列将收敛于a。

二 收敛数列的性质

极限的唯一性：如果数列{Xn}收敛，它的极限唯一。

第三节 函数的极限

一 函数极限的定义

二 函数极限的性质

第四节 无穷小与无穷大

符号表示

x->∞ x绝对值趋近无穷大，两方向都是无穷大。
X->-∞左极限
X->+∞右极限
X->x0
X->x0+
X->x0-
Lim
左极限右极限不相等的时候，此处极限不存在。
无穷小

一 无穷小

定理1：在自变量的统一变化过程 x->x0（或者x->∞）中，函数f(x)具有极限A的充分条件是f(x)=A+α，其中α是无穷小。

二 无穷大

X->x0的时候，f(x)趋近于无穷大。他们的结果没有收敛。
无穷大和无穷小的关系：f(x)无穷大1/f(x)将无穷小。
两个趋近于无穷小的数列比大小，就出除法，只有三种情况，a比b高阶无穷小，a和b同阶无穷小，a比b低阶无穷小。

极限运算法则

定理1：两个无穷小的和是无穷小\
定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小\
推论1 常熟与无穷小的乘积是无穷小\
推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小\
定理3 如果limf(x)=A,limg(x)=B，那么

（1）lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B

（2）lim[f(x)*g(x)]=limf(x)*limg(x)=A*B

若又有B!=0，则

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B}$$

推论1 如果limf(x)存在，而c为常数，那么

$$\lim [cf(x)] = c\lim f(x)$$

推论2 如果limf(x)存在，而n是正整数，那么

$$\lim [f(x)]^n = [\lim f(x)]^n$$

定理4 设有数列${x_n}$和${y_n}$，如果

$$\lim\limits_{x \to \infty} (x_n\pm y_n) = A \pm B;\\ \lim\limits_{x \to \infty} (x_n \cdot y_n) = A \cdot B;\\ 当 y_n \neq 0 (n=1,2,...)且B \neq 0时，\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}.$$

定理5 如果$\varphi(x)\geq \psi(x)$，而$\lim \varphi(x)=A,\lim \psi(x)=B,那么A \geq B.$\
定理6（复合函数的极限运算法则） 设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点$x_0$的某去领域内有定义，若

$$\lim\limits_{x \to x_0}g(x)=u_0.\\ \lim\limits_{x \to x_0}f(u)=A,$$

且存在$\delta_0 \gt 0$，当x$\in U(x_0,\delta_0)$时，有g(x)$\neq u_0$，则

$$\lim\limits_{x \to x_0} f[g(x)] = \lim\limits_{x \to x_0} f(u) = A.$$

第六节 极限存在准则 两个重要的极限

准则I 如果数列${xn},{y_n}及{z_n}$满足下列条件：\
（1）从某项起，即$\exist n_0 \in N+，当n\gt n_0$时，有

$$y_n \leq x_n \leq z_n$$

(2)$\lim\limits{n \to \infty} y_n = a, \lim\limits{n \to \infty} zn=a,$\
那么数列{$x_n$}的极限存在，且$\lim\limits{n \to \infty}x_n=a$\
准则$I’$ 如果\
（1）当$x\in U(x_0,r)（或者|x|>M）时$，

$$g(x) \leq f(x) \leq h(x);$$

（2）$\lim\limits{x \to \infty}g(x)=A,\lim\limits{x \to \infty}h(x)=A,$\
那么$\lim\limits_{x \to \infty}f(x)$存在，且等于A.

夹逼准则。

准则II 单调有界数列必有极限。\
准则II’ 设函数f(x)在点$x_0$的某个左领域内单调且有界，则f(x)在$x_0$的左极限$f(x_0^-$必定存在。\
柯西(Cauchy)极限存在准则。

柯西审敛原理。

无穷小的比较

$$如果 \lim \frac{\beta}{\alpha} = 0，\beta 是比\alpha 高阶的无穷小, \beta = o(\alpha)\\ 如果 \lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty，\beta 是比\alpha 低阶的无穷小\\ 如果 \lim \frac{\beta}{\alpha} = c \neq 0，\beta 是比\alpha 同阶的无穷小\\ 如果 \lim \frac{\beta}{\alpha^k} = c \neq 0, k >0，\beta 是关于\alpha k阶的无穷小\\ 如果 \lim \frac{\beta}{\alpha} = 1, \beta 与\alpha 等阶的无穷小，记作 \alpha ~ \beta.$$

函数的连续性与间断点

函数连续性

引用

• [1] 在线LaTex工具
• [2] math_symbols